“Рука” образовано от “ректи”, что значит течь, перемещаться, двигаться. Отсюда же и речь, река, срок, рок. В других славянских языках слово “рука” произносят как и рока, и река. Отсюда “рука” – это то, что двигается, или чем можно двигать.

Нога – однокоренное слову “ноготь”, что раньше значило “копыто”. Ноги были только у копытных животных, а человеческие называли пехами, от слова пихать. Отсюда слова: пехота, пешка, идти пешком. А “пехи” ногами называли в шутку, как мы сейчас руки называем лапами, а ноги копытами. Позже это закрепилось в речи, а старое слово подзабылось.

p.s. пруфов нет